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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Determine la cantidad de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones
b) $e^{x}=1-x$
b) $e^{x}=1-x$
Respuesta
Como vimos en clase, partiendo de esta ecuación:
$e^{x}=1-x$
podemos despejar
$e^x -1 +x = 0$
y definirnos la función $f(x) = e^x -1 +x$.
Hacemos entonces un estudio completo de $f$ y, al final cuando tengamos el gráfico, vamos a poder responder la pregunta del enunciado.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$\lim_{x \to +\infty} e^x -1 +x = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} e^x -1 +x = -\infty$
3) Calculamos $f'(x)$:$f'(x) = e^x + 1$
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$e^x + 1 = 0$
Esta ecuación nunca puede valer cero, siempre va a ser positiva. Por lo tanto, no sólo estamos viendo que $f$ no tiene puntos críticos, sino que además, como $f'(x)$ es siempre positiva, entonces $f$ es creciente en todo su dominio.
El gráfico nos queda así:
Y ahora, mirando el gráfico, vemos que $e^x -1 +x = 0$ tiene una única solución.