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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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8. Determine la cantidad de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones
b) ex=1−xe^{x}=1-x

Respuesta

Como vimos en clase, partiendo de esta ecuación: ex=1−xe^{x}=1-x podemos despejar ex−1+x=0e^x -1 +x = 0 y definirnos la función f(x)=ex−1+xf(x) = e^x -1 +x. 

Hacemos entonces un estudio completo de ff y, al final cuando tengamos el gráfico, vamos a poder responder la pregunta del enunciado. 
1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de ff es todo R\mathbb{R}. 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: Como el dominio es R\mathbb{R}, esta función no tiene asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty
lim⁡x→+∞ ex−1+x =+∞\lim_{x \to +\infty} e^x -1 +x = +\infty 

lim⁡x→−∞ ex−1+x =−∞\lim_{x \to -\infty} e^x -1 +x = -\infty  
  3) Calculamos f′(x)f'(x):

f′(x)=ex+1f'(x) = e^x + 1  4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos: ex+1=0e^x + 1 = 0

Esta ecuación nunca puede valer cero, siempre va a ser positiva. Por lo tanto, no sólo estamos viendo que ff no tiene puntos críticos, sino que además, como f′(x)f'(x) es siempre positiva, entonces ff es creciente en todo su dominio. 
El gráfico nos queda así:

2024-04-20%2010:26:24_4571340.png

Y ahora, mirando el gráfico, vemos que ex−1+x=0e^x -1 +x = 0 tiene una única solución.
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